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线性代数课程复习提纲

张小弟 张小弟 发表于2020-07-19 02:32:22 浏览153 评论3

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第一章 行列式:

1、行列式的定义:

(1)(仅)适用于2、3阶行列式的对角线法则;

(2)逆序数与排列的奇偶性;

(3)n阶行列式的定义(的意义与展开,展开式中项的规律与符号的确定(3种方式));

(4)抽象表示技能。

2、行列式的基本计算:

(1)利用定义计算;

(2)利用行列式的性质,化行列式为上(下)三角行列式计算;

(3)利用行列式的性质,化某行(列)只留一个(可能的)非零元,再用行列式的按行按列展开定理(子式,余子式,代数余子式)计算。

3、行列式的常用计算技巧:

(1)利用行和或列和相等的特点计算;

(2)加边法;

(3)同时拆行(列)法;

(4)递推法*;

(5)利用Vandermonde行列式计算;

(6) 数学归纳法*。

(此次考试仅要求有限阶的数字行列式与文字行列式的计算)

4、Cramer法则:

注意Cramer法则使用的前提条件:

(1)方程组的个数与未知量的个数相等;

(2)系数行列式不为零。

难点:抽象表示(n阶行列式的定义)、n阶行列式的计算。

第二章 矩阵及其运算

矩阵的各类运算:

  1. 乘法:
    1. 两矩阵相乘的前提(左矩阵的列数与右矩阵的行数相等);
    2. 乘法交换律不成立(导致乘法公式不成立,二项式公式不成立,消去律不成立);
    3. 积矩阵中元的表示。(
  2. 转置、方阵的行列式、共轭矩阵:定义与运算性质(穿脱原理;等)。
  3. 逆矩阵:
    1. 逆矩阵的定义;
    2. 可逆的充要条件(行列式不为零、非奇异、满秩);
    3. 伴随矩阵;利用伴随矩阵求逆。(注意伴随矩阵的计算程序,以保证计算结果的准确性)
  4. 矩阵的分块:
    1. 分块运算的定义,尤其是分块的转置、分块乘法中左(右)矩阵的块保持在左(右)边;
    2. 分块求逆法(设未知矩阵求解矩阵方程、准对角矩阵的求逆)

重点:矩阵的求逆(要求掌握各种求逆方法)。

 

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1、矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵、行最简矩阵;

2、子式、求矩阵的秩,三秩相等定理;

3、线性方程组的有解判别定理;

4、初等矩阵及八字原则(左行右列,首尾为主);

5、利用初等变换求矩阵的逆、求解矩阵方程。

第四章 向量组的线性相关性

1、线性表示、线性组合、两向量组的等价

2、 线性相关性:

  1. 定义(2个);
  2. 相关性的判别:转为向量方程是否有非零解,转为齐次线性方程组是否有非零解;转为求矩阵的秩;

向量组线性相关向量方程有非零解

矩阵的秩

3、极大无关组、秩及其求法;(对矩阵施行初等行变换,不改变矩阵列向量之间的线性关系。)

4、相关性与矩阵间的关系(表示矩阵等);

  1. (即为基本定理)
  2. 线性无关时,有
  1. 相关性的有关性质:

尤其是线性相性的基本定理:向量组A可由向量组B线性表示,

(-秩)

  1. 向量空间:
    1. 定义与判别;
    2. 生成子空间及相关性质:

  1. 基与维数:能找出给定空间的基(一般为常见空间)

7、求解线性方程组(基础解系、通解、特解。有解判定定理。系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的关系)(注意求解程序,以保证计算的正确性)

基本题型:

  1. 相关性的证明;
  2. 求给定向量组的极大无关组、秩,并用该极大无关组表示其余向量;
  3. 相关性的判断;
  4. 求解线性方程组。
  5. 重点:线性相关性、求解线性方程组。

 

第五章 相似矩阵与二次型

1、向量的内积:定义(对称性、线性性、非负性)、长度、正交;

2、正交向量组、规范正交基、Schmidt正交化、正交矩阵、正交变换;

3、特征值、特征向量、特征多项式及Hamilton-Cayley定理、属于不同特征值的特征向量线性无关;

4、相似矩阵:定义(是矩阵间的一种等价关系)、相似矩阵具有相同的特征多项式、相似对角化、矩阵能相似对角化的充要条件、充分条件;

5、实对称矩阵的相似性:特征值必为实数、属于不同特征值的特征向量必正交、任一特征值的代数重数等于其几何重数、实对称矩阵必可相似对角化、实对称矩阵必可正交对角化;

6、二次型:二次型矩阵、二次型的秩、矩阵的合同变换、标准形、惯性定理;

7、二次型的正定性:正定二次型、正定矩阵、正定的充要条件、霍尔维茨定理(顺序主子式)。

基本题型:

1、 用正交变换化二次型为标准形;

2、 相似对角化及其证明;

3、 正定矩阵证明。

注意:注意有关结论的前提,是一般的方阵,还是实对称矩阵。

第六章 线性空间与线性变换

  1. 线性空间的定义:11条
  2. 线性空间的性质及证明:公理化方法
  3. 子空间的定义及其判断
  4. 维数、基与坐标:要求能熟练计算
  5. 线性空间的同构及应用同构理论解决一般线性空间中的问题
  6. 过渡矩阵与基变换、坐标变换:要求熟练矩阵表示,过渡矩阵的列向量的几何意义
  7. 线性变换与其在某基下矩阵:基下矩阵的列向量的几何意义
  8. 线性变换的性质与向量组与象向量组的线性关系:

线性相关线性相关,但其逆不真。

  1. 线性变换的象与核、线性变换的秩
  2. 同一线性变换在不同基下的矩阵相似。

 

基本题型:

  1. 线性空间与子空间的判定;
  2. 求给定间的基与维数、求给定向量在定间基下的坐标;
  3. 求过渡矩阵与基变换、坐标变换(常通过第三个基进行过渡)
  4. 求基下矩阵。

 

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