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线性代数笔记——矩阵的秩、逆、分块及特殊方阵

一、矩阵的秩

1、定义:矩阵的阶梯形中非零行的个数称为A的秩.

2、相关结论

(1)引理7  如果矩阵A与B是行等价的,则A与B的非零列的个数相等;如果矩阵A与C是列等价的,则A与C的非零行的个数相等.

(2)命题7  矩阵A的秩不大于A的非零行的个数,也不大于A的非零列的个数.

(3)引理8  如果矩阵A与B是行等价的,则r(A)=r(B)

(4)引理9  如果对矩阵A作一次初等列变换得矩阵B,那么 r(A)=r(B)

(5)定理2  如果矩阵A与B是等价的,则 

(6)定理3  矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式的矩阵

          

          的(1,1),...,(r,r)元都为1,其余都为0.

(8)命题8  

(9)定理4  

         推论  如果m个矩阵  的乘积有意义,则 

(10)设A为n阶矩阵,如果 r(A)=n ,则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

二、可逆矩阵

1、定义:设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=BA= ,则称A是可逆矩阵,称B为A的逆矩阵。不是可逆的矩阵称为不可逆矩阵.

2、性质

(1)如果A是可逆矩阵,那么A的逆矩阵是唯一的。可逆矩阵A的逆矩阵记作.

(2)如果A是可逆的,则也是可逆的,并且.

(3)如果k为非零常数,A为可逆矩阵,那么kA也是可逆矩阵,并且 .

(4)如果A,B为同阶可逆矩阵,则AB也是可逆矩阵,并且 

(5)如果A是可逆的,那么也是可逆的,并且 

(6)初等矩阵是可逆的,并且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵.(命题5)

(7)引理10  如果A是 n阶可逆矩阵,那么

         证明  设A是 n阶可逆矩阵.根据可逆矩阵的定义,存在n阶矩阵B使得AB=,于是

                    

                  因此,r(A)=n.

(8)引理11  有限个初等矩阵的乘积是可逆矩阵.

(9)定理6  设A为n阶矩阵.下列论断彼此等价:

            ① A是可逆矩阵;

            ② 

            ③A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

      推论1  设A,B都是n阶矩阵。如果乘积AB是可逆的,则A与B都是可逆的.

      推论2  设A是n阶矩阵,并且线性方程组  有解, 的解唯一的充分必要条件是A为可逆矩阵.

                  当A可逆是,的唯一解为  .

      推论3  设A是n阶矩阵,齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件为A为不可逆矩阵.

      推论4  设A是m*n矩阵,如果P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,那么

                  .

      推论5  m*n矩阵A的秩为 r 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得

                 

3、逆矩阵的求法

      设A是n阶可逆矩阵,为 A的逆矩阵。将按列表示为;将n阶单位矩阵按列表示为. 因为  ,并且,所以对于所有的  ,都有;根据定理6的推论2, 是方程组 的唯一解.因为A是n阶可逆矩阵,所以根据定理6,r(A)=n。因此,A的简化阶梯形为,方程组 的增广矩阵的简化阶梯形为 于是矩阵的简化阶梯形为,即 的简化阶梯形为 

三、分块矩阵

1、定义:以分块形式表示的矩阵称为分块矩阵.

2、定理7  如果A是m阶可逆矩阵,D是n*t阶矩阵,那么下列3个等式成立:

                 ①

                 ②

                 ③

四、几类常见的特殊方阵

1、对称矩阵与反对称矩阵

(1)定义:设A是方阵,如果,则称A为对称矩阵;如果A^{T}=-A,则称A为反对称矩阵.

(2)命题9  如果A是方阵,则是对称矩阵,A-A^{T}是反对称矩阵.

(3)命题10  如果A是方阵,则A可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

2、对角矩阵

(1)定义:设A是方阵,如果A的对角线以外的元素都为零,则称A为对角矩阵.

                    

(2)对角元都相等的对角矩阵称为数量矩阵.

                   

(3)命题11  对角矩阵的秩等于其非零对角元的个数。因此,对角矩阵  为可逆矩阵的充分必要条件是其对角元都不为零,当A可逆时,

               

3、准对角线矩阵

(1)定义:设A是方阵,如果对A的行和列作相同的划分,得到的分块矩阵中,对角线以外的块都为零,则称A为准对角线矩阵

                

         其中 都为方阵.

(2)命题12  准对角线矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其对角块都是可逆的.当A可逆时,

                

4、上三角矩阵与下三角矩阵

(1)定义:设A是方阵,如果A的对角线以下(上)的元素都为零,则称A为上(下)三角矩阵.

(2)命题13  上三角矩阵的转置为下三角矩阵

(3)定理8  上(下)三角矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是它的对角元都不为零.

                     可逆上(下)三角矩阵的矩阵仍然是上(下)三角矩阵.

(4)命题14  上(下)三角矩阵的秩不小于其非零对角元的个数


转自:https://blog.csdn.net/wys7541/article/details/81698355

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